Hola! Bienvenido a este blog donde encontrarás información útil sobre la GEOMETRÍA ANALÍTICA.
Esperamos que te sea de gran ayuda :) 

Índice

Los temas a tratar son:

• Par Ordenado
• Sistema de Coordenadas Cartesianas
• Distancia entre 2 Puntos
• Punto Medio de un Segmento
• División de un Segmento en una Razón Dada
• Cálculo de Áreas en el Plano Cartesiano
• Lugar Geométrico 
• Ángulo de Inclinación 
• Ecuación de la Recta

El Par Ordenado

Consiste de dos elementos, digamos a y b, de los cuales uno, digamos a, es designado como primer elemento y el otro como según elemento. Un par ordenado es designado por (a,b). Dos pares ordenados (a,b) y (c,d) son iguales si, y solamente si, a = c y b = d

(a,b) = (c,d) ↔ (a = c y b = d)

Ex 1: los pares ordenados (2,3) y (3,2) son diferentes.

Ex 2: pares ordenados pueden tener los primeros y segundos elementos idénticos tales como: (1,1),(5,5) y (7,7)

Sistema de Coordenadas Cartesianas

El sistema más usado es de las coordenadas cartesianas, basado en un juego de ejes perpendiculares entre sí.
Fue conocido con el nombre de René Descartes ("Dey-cart"), un científico y filósofo francés que, hacia el año 1600, ideó una forma sistemática de designar cada punto en el plano por medio de dos números. Puede que esto ya le sea familiar a usted.

El sistema se basa en dos líneas rectas ("ejes"), perpendiculares entre sí, cada una marcada con las distancias desde el punto donde se juntan ("origen"): los espacios hacia la derecha del origen y hacia arriba de él, se toman como positivos y para los otros lados como negativos

La distancia en un eje se llama "x" y en el otro "y". Dado un punto P se dibujan, desde él, líneas paralelas a los ejes y los valores de "x" e "y" definen totalmente el punto. En honor a Descartes, esta forma de designación de los puntos se conoce como sistema cartesiano y los dos números (x, y) que definen la posición de cualquier punto son sus coordenadas cartesianas . 

Datos Extras!

En una recta numérica, que se determina por P( X1 ) y P( X2 ) se tiene:

La Distancia Dirigida del Punto 1 ( X1 ) al Punto 2 ( X2 ) es:

| X2 - X1 |

 

La Distancia No Dirigida del Punto 1 ( X1 ) al Punto 2 ( X2 ) es:

| X2 - X1 |

Las 4 partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman cuadrantes, donde:

• I Cuadrante X ( + ) e Y ( + )
• II Cuadrante X ( - ) e Y ( + )
• III Cuadrante X ( - ) e Y ( - )
• VI Cuadrante X ( + ) e Y ( - )

Distancia entre DOS PUNTOS

La distancia entre 2 puntos es la recta que tiene como extremos a los 2 puntos: 

P1 ( X1 ; Y1 ) , P2 ( X1 ; Y1 ) 

La distancia se halla mediante la siguiente fórmula:

EJEMPLOS:

Punto Medio de un segmento

El Punto Medio es el punto que se encuentra a la misma distancia de cualquiera de los extremos de la recta, es decir, divide a la recta en 2 partes iguales.

Para ello, se deben tener 2 pares ordenados:
A ( X1 ; Y1 ) , B ( X2 ; Y2 )

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos:

FÓRMULA

División de un Segmento en una Razón Dada

Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r

 

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

FÓRMULAS:

Área de una región poligonal en el plano cartesiano

  Sea A1 , A2 , A3 , ........, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido

antihorario, tiene como coordenadas :

,

,

,........,

Entonces el área de la región poligonal

correspondiente, es el valor absoluto de la expresión :

.....(1)

Llamada también formula determinante de Gauss

Obsérvese en la determinante se repite , al final, el primer par ordenado

correspondiente

a la coordenada de

.

La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I D

De donde :

Luego el valor de la determinante estará dada por :

....(2)

Por lo tanto sustituyendo (2) en (1) :

....(3)

Notas :

a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitrario.

b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)

Lugar Geométrico

En matemáticas, a lugar geométrico (Latino para el “lugar”, plural lugares geométricos) es una colección de puntos qué parte una característica. El término “lugar geométrico” se utiliza generalmente de una condición que defina una figura o figuras continua, es decir, a curva. Por ejemplo, a línea es el lugar geométrico de puntos equidistante a partir de dos puntos fijos o a partir del dos paralelo líneas.

Ejemplos

• secciones cónicas puede ser definido en términos de lugares geométricos:

• A círculo es el lugar geométrico de los puntos de los cuales distancia al centro está un valor dado, radio.
• elipse es el lugar geométrico de puntos, la suma de las distancias de las cuales a focos es un valor dado.
• A hipérbola es el lugar geométrico de puntos, la diferencia de las distancias de las cuales a los focos está un valor dado.
• A parábola es el lugar geométrico de los puntos, las distancias de los cuales al foco y a directriz sea igual.

Ejemplos de lugares geométricos

Mediatriz

Bisectrices

Ángulo de Inclinación

La inclinación de una recta cualquiera (que no sea paralela al eje X) es el ángulo menor que la recta forma con la dirección positiva del eje X, y se mide desde el eje X hacia la recta, en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

 * Pendiente de una recta:

La pendiente de un recta es la tangente del ángulo de inclinación y generalmente se representa por la letra "m". En estas condiciones:

Del triángulo.

Nota: La pendiente de la recta formada por dos puntos cualesquiera es la misma sin importar en que cuadrante estén situados los puntos.

Ecuación de la recta

Lo dividiremos en:

• Punto pendiente
• Pendiente que ordena en el origen
• Dos puntos conocidos 
• General

PUNTO PENDIENTE

Ecuación de la línea recta que pasa por un punto A(X1,Y1) y la pendiente conocida m.

Ejemplo:

Conociendo otro punto cualesquiera de la recta P(X,Y) como se indica en la figura :



Apliquemos la fórmula de la pendiente:

Y - Y1 = m(X - X1) Ecuación de la Recta de Punto y Pendiente.

PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN


Ecuación de la línea recta con pendiente y ordenada en el origen.

Ejemplo:

Sea una recta con pendiente m que intersecta al eje y en el punto (O,b), siendo b la ordenada al origen y sea P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura:

Aplicamos la fórmula de la pendiente:





Despejando y tendremos la ecuación de la recta de pendiente-ordenada en el origen (intersección).

y = mx + b

DOS PUNTOS CONOCIDOS

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos (forma cartesiana)

Sea A(X1,Y1) y B(X2,Y2) los puntos conocidos y P(X,Y) otro punto de la recta como se indica en la figura:



El valor de m entre A y B es sustituyendo este valor en la ecuación Y - Y1 = m(X - X1)

Tendremos:

Y - Y1 = (X - X1) = Y - Y1 = (Y2 - Y1)

Dividimos por Y2 - Y1

, por tanto

, ecuación de la recta que pasa por dos puntos. 

FORMA GENERAL DE LA LÍNEA RECTA

Una ecuación lineal o de primer grado en la variable x e y es de la forma Ax + By + C = 0, en donde A, B y C son constantes arbitrarias.


Despejando a la variable y tendremos : By = -Ax - C.


que es de la forma y= mx + b



Donde:


y b ordenada al origen